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펠릭스 클라인

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목차

1. 개요

펠릭스 클라인(1849–1925)은 독일의 수학자로, 기하학, 군론, 복소해석학, 수리물리학 등 다양한 분야에 걸쳐 중요한 업적을 남겼다. 그는 에를랑겐 대학교와 괴팅겐 대학교 교수를 역임했으며, 괴팅겐을 세계적인 수학 연구 중심지로 만드는 데 기여했다. 클라인은 에를랑겐 프로그램을 통해 기하학을 변환과 불변량의 연구로 정의하고, 클라인 병을 고안하는 등 기하학 분야에 큰 영향을 미쳤다. 또한 수학교육 개혁에도 관심을 가져 학교 수학 교육 발전에 기여했으며, 런던 수학회로부터 드모르간 메달을, 왕립 학회로부터 코플리 메달을 수상했다.

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펠릭스 클라인
기본 정보
펠릭스 클라인
펠릭스 클라인
이름펠릭스 크리스티안 클라인
로마자 표기Pellikseu Keurisiteuian Keullein
출생일1849년 4월 25일
출생지뒤셀도르프(라인 주), 프로이센 왕국
사망일1925년 6월 22일
사망지괴팅겐(하노버 주), 프로이센 자유주, 바이마르 공화국
학문 분야
분야수학
출신 대학본 대학교
지도 교수율리우스 플뤼커
루돌프 립시츠
지도 학생루트비히 비버바흐
막심 보처
오스카 볼차
프랭크 넬슨 콜
헨리 B. 파인
에르빈 프로인트리히
로베르트 프리케
필리프 푸르트벵글러
악셀 하르나크
멜렌 해스켈
아돌프 후르비츠
에드워드 캐스너
페르디난트 폰 린데만
알렉산더 오스트로프스키
훌리오 레이 파스토르
헤르만 로테
프리드리히 실링
버지 스나이더
에드워드 반 블렉
발터 폰 다이크
아돌프 바일러
헨리 실리 화이트
알렉산더 비팅
그레이스 치셤 영
주요 학생에드워드 캐스너
소속에를랑겐 대학교
뮌헨 공과대학교
라이프치히 대학교
괴팅겐 대학교
업적
주요 업적에를랑겐 프로그램
클라인 병
벨트라미-클라인 모델
클라인의 수학 백과사전
클라인 군
클라인 4원군
클라인 4차 곡선
탁구 정리
수상
수상드모르강 메달(1893년)
코플리 메달(1912년)
아커만-토이너 기념상(1914년)

2. 생애

펠릭스 클라인은 1849년 4월 25일 뒤셀도르프에서 프로이센 정부 관리 비서였던 아버지 카스파르 클라인과 어머니 소피 엘리제 클라인 사이에서 태어났다.[1][2] 김나지움을 졸업하고 본 대학교에서 수학과 물리학을 공부했으며,[3] 1868년 율리우스 플뤼커의 지도 아래 선 기하학 연구로 박사 학위를 받았다.

프랑스-프로이센 전쟁 중에는 프로이센 군대에서 위생병으로 복무하면서 훗날 교육부 장관이 되는 프리드리히 알트호프를 만났다. 1871년 초 괴팅겐에서 강사로 임명되었다.

1872년, 알프레트 클레브슈의 추천으로 불과 23세의 나이에 에를랑겐 대학교 교수가 되었다.[4] 1875년 뮌헨 공과대학교 교수가 되었고, 철학자 게오르크 빌헬름 프리드리히 헤겔의 손녀인 안 헤겔과 결혼했다.[5]

1880년부터 라이프치히 대학교에서 기하학 교수로 재직하며 발터 폰 디크, 에두아르트 슈투디, 프리드리히 엥겔 등과 함께 연구했다. 이 시기에 건강이 악화되어 우울증을 겪기도 했다.[6]

클라인 (1912). 막스 리베르만의 그림


1886년부터 1913년 은퇴할 때까지 괴팅겐 대학교 교수로 재직하며 괴팅겐을 세계적인 수학 연구 중심지로 발전시켰다. 1895년 다비트 힐베르트를 괴팅겐으로 초빙하여 괴팅겐의 수학적 명성을 더욱 높였다.

1893년 시카고 만국박람회의 일환으로 열린 국제 수학 회의에서 주요 연사로 활동했다.[7] 1897년 네덜란드 왕립 예술 과학 아카데미의 외국 회원이 되었다.[8]

1893년 런던 수학회에서 드모르간 메달을 수여받았고, 1885년 왕립 학회 회원으로 선출되었으며, 1912년 코플리 메달을 수상했다. 건강 악화로 이듬해 은퇴했지만, 그 후 몇 년 동안 집에서 수학을 계속 가르쳤다.

제1차 세계 대전 초기에 독일의 벨기에 침공을 지지하는 93인 선언에 서명했다.

1925년 괴팅겐에서 사망했다.

2. 1. 수학교육 개혁

클라인은 학교 수학 교육에 큰 관심을 가지고 해석기하학, 미적분학의 기초, 함수 개념을 중등학교에서 가르칠 것을 권장하는 계획을 수립하는 데 중요한 역할을 했다.[25] 1908년 로마 국제수학자회의에서 국제 수학교육 위원회 회장으로 선출되었다. 그의 지도 아래, 위원회의 독일 부문은 독일의 모든 수준의 수학 교육에 관한 많은 책을 출판했다.

3. 주요 업적

클라인의 주요 업적은 기하학, 복소해석학, 군론, 수학교육 분야에 걸쳐 있다.

클라인은 카를 프리드리히 가우스와 베른하르트 리만이 창시한 다양체론에 큰 업적을 남겼다. 미분 기하학 분야에서 다양체에 부여하는 기하 구조는 강체 변환을 가능하게 하는 자연스러운 것으로 해야 한다고 주장했으며(에를랑겐 프로그램에서 다룰 수 있는 "기하학"이다), 2차원 다양체는 모두 3종류의 자연스러운 기하 구조를 갖는다고 믿었다. 비록 클라인은 자신의 주장에 대한 정확성을 확신했지만, 증명은 결국 하지 못했다. 이후 1907년에 푸앵카레와 파울 코베가 각각 독립적으로 완전한 증명을 해냈으며, 이를 일의화 정리라고 부른다. 일의화 정리는 기하화 추측 등 그 후의 기하 구조 연구에 큰 영향을 주었다. 1882년 저서 「대수 함수와 그 적분에 관한 리만의 이론」에서는 복소 함수를 기하학에 응용하여 복소 다양체론을 개척하기도 했다.[25]

위상 기하학 분야에서는 방향이 없는 폐곡면인 클라인 병을 처음으로 발견했다.

3. 1. 에를랑겐 프로그램

1871년 괴팅겐에 있던 클라인은 "소위 비유클리드 기하학에 관하여"라는 두 편의 논문을 발표하여 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 모두 케일리-클라인 메트릭에 의해 결정되는 메트릭 공간으로 간주할 수 있음을 보였다. 그러나 아서 케일리는 클라인의 주장을 순환적이라고 믿어 받아들이지 않았다.[25]

클라인은 주어진 변환군 아래에서 불변하는 공간의 성질에 대한 연구로서 기하학을 종합하였는데, 이는 ''에를랑겐 프로그램''(1872)으로 알려져 있으며 수학 발전에 깊은 영향을 미쳤다. 이 프로그램은 에를랑겐 대학교 교수 취임 강연에서 시작되었지만, 실제로 그 자리에서 행한 연설은 아니었다. 에를랑겐 프로그램은 기하학의 통합 시스템을 제안했으며, 이는 현대에 받아들여진 방법이 되었다. 클라인은 주어진 기하학의 본질적인 성질을 그 성질을 보존하는 변환들의 군으로 나타낼 수 있음을 보였다. 따라서 이 프로그램의 기하학 정의는 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학 모두를 포함했다.[25]

클라인은 기하학을 도형(공간)에 변환을 가했을 때 변하지 않는 성질을 연구하는 학문이라고 정의했다. 집합론 용어를 사용하면, 주어진 집합과 변환군이 주어지고, 그 변환에 대해 변하지 않는 집합의 성질을 조사하는 것이라고 바꿔 말할 수 있다. 예를 들어 유클리드 기하학에서는 회전, 반사, 병진 (항등변환을 포함하며, 이들은 합쳐서 유클리드 변환, 강체 변환 등으로 불리고, 그것들이 이루는 군을 유클리드 군이라고 부른다)이 허용되며, 불변량으로는 길이, 각도, 넓이 등을 들 수 있다. 사영 기하학에서는 사영 변환이 허용되므로 각도나 길이는 불변량이 아니지만, 직선은 어디까지나 직선이며 사교비도 보존된다. 클라인은 사영 변환군이 유클리드 군보다 본질적으로 크다는 것을 보였다. 즉, 사영 기하학과 유클리드 기하학은 구조적으로 다르다는 것이다. 이 성과는 사영 기하학에서 마지막 대발견이라고도 불린다.[25]

위상 기하학(토폴로지)에서는 연속 변환(호메오모르피즘)이 허용되며, 이때는 도형의 연결성 이외에는 보존되지 않는다. 토폴로지에서의 불변량으로는 오일러 지표, 베티 수, 호모토피 군 등이 있지만, 완전한 분류에 사용할 수 있는 것은 발견되지 않았다. 이것은 푸앵카레 추측과도 관련이 있지만, 클라인은 토폴로지의 기초를 쌓은 푸앵카레와 대립했기 때문에 이 문제 해결에도 상당한 지혜를 기울였다고 알려져 있다.[25] 이 특징짓기의 가장 큰 의미는 지금까지 다양하게 만들어진 수많은 기하학이 재분류되었다는 것이다.

클라인의 프로그램을 따르지 않은 것으로 리만 기하학이 있다. 이 기하학에서는 공간의 보편성을 가정하지 않기 때문에 일반적으로 가능한 변환은 항등변환만이 된다. 이 결함은 클라인 이후에 수정되었다. 이 기하학의 분류라는 문제는 그의 제자인 힐베르트의 공리계에 의한 기하학을 포함한 수학의 여러 분야의 체계화라는 새로운 길에도 영향을 미치게 된다.

3. 2. 클라인 병

뫼비우스의 띠 두 개로 클라인 병을 만드는 과정


클라인은 자신의 이름을 딴 "클라인 병"을 고안했다. 이것은 한쪽 면만 가진 닫힌 곡면으로 3차원 유클리드 공간에는 포함될 수 없지만, 실린더를 스스로 안쪽으로 꿰뚫어 다른 쪽 끝과 연결하는 방식으로 침지시킬 수 있다. 4차원 이상의 유클리드 공간에는 포함될 수 있다. 클라인 병의 개념은 3차원 뫼비우스의 띠로서 고안되었으며, 그 구성 방법 중 하나는 두 개의 뫼비우스의 띠의 가장자리를 연결하는 것이다.[13]

3. 3. 복소해석학

클라인은 복소해석학에 대한 연구를 주요 수학적 공헌으로 꼽았으며, 특히 다음과 같은 연구를 수행했다.

클라인은 모듈 군이 복소평면의 기본 영역을 움직여 평면을 테셀레이션한다는 것을 보였다. 1879년, 그는 PSL(2,7)의 작용(모듈 군의 상으로 간주됨)을 조사하여 현재 클라인 사차곡선이라고 불리는 리만 곡면의 명시적 표현을 얻었다. 그는 그것이 사영공간의 복소 곡선이며, 방정식이 ''x''3''y'' + ''y''3''z'' + ''z''3''x'' = 0이고, 그 대칭군이 차수 168인 PSL(2,7)임을 보였다.[16] 그의 저서 ''Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale''(1882)는 퍼텐셜 이론과 등각 사상을 연결하여 기하학적인 방식으로 복소 해석학을 다룬다. 이 연구는 유체역학의 개념을 활용했다.

클라인은 4차 이상의 방정식을 고려했고, 특히 초월적인 방법을 사용하여 5차 일반 방정식을 푸는 것에 관심이 많았다. 샤를 에르미트와 레오폴트 크로네커의 방법을 바탕으로 브리오스키와 유사한 결과를 얻었고, 나중에는 이십면체군을 이용하여 문제를 완전히 해결했다. 이 연구를 통해 그는 타원 모듈 함수에 관한 일련의 논문을 쓸 수 있었다.

1884년 이십면체에 관한 그의 저서에서 클라인은 대수와 기하를 결합하여 자동형 함수 이론을 확립했다. 푸앵카레는 1881년에 자동형 함수 이론의 개요를 발표했는데, 이는 두 사람 사이의 우호적인 경쟁으로 이어졌다. 두 사람 모두 새로운 이론을 더욱 완벽하게 확립할 수 있는 위대한 일치화 정리를 명시하고 증명하려고 했다. 클라인은 그러한 정리를 공식화하고 그것을 증명하기 위한 전략을 설명하는 데 성공했다. 그는 1882년 3월 23일 오전 2시 30분 천식 발작 중에 증명을 생각해냈다.[16]

클라인은 약 20년에 걸쳐 로베르트 프리케와 함께 집필한 4권짜리 논문에서 자동형 함수와 타원 모듈 함수에 대한 자신의 연구를 요약했다.

3. 4. 군론과 방정식

클라인은 4차 이상의 방정식을 연구했고, 특히 초월적인 방법을 사용하여 5차 일반 방정식을 푸는 데 관심이 많았다. 샤를 에르미트와 레오폴트 크로네커의 연구를 바탕으로 브리오스키와 유사한 결과를 얻었으며, 이후 이십면체군을 이용하여 이 문제를 완전히 해결했다.[16] 이 연구를 통해 그는 타원 모듈 함수에 관한 일련의 논문을 발표했다.

3. 5. 수리물리학

1890년대에 클라인은 수리물리학을 더욱 집중적으로 연구하기 시작하여 아놀드 조머펠트와 함께 자이로스코프에 관한 논문을 썼다.[14] 1894년 그는 응용을 포함한 수학 백과사전의 아이디어를 제안했는데, 이는 ''Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften''이 되었다.[15] 1935년까지 지속된 이 사업은 지속적인 가치를 지닌 중요한 표준 참고 자료를 제공하였다.[15]

4. 저서


  • 1882년: ''리만의 대수함수론과 그 적분에 관하여'' (''Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale'')[17]
  • * [http://resolver.library.cornell.edu/math/1797666 코넬 대학교에서도 이용 가능]
  • 1884년: ''이십면체와 5차 방정식의 해법에 관한 강의'' (''Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade'')
  • * G. G. 모리스(1888)의 영어 번역본 ''이십면체에 관한 강의; 그리고 5차 방정식의 해법'' (인터넷 아카이브)
  • 1886년: ''초타원 함수에 관하여''. 제1편, 수학 연보 제27권 323-356쪽
  • 1888년: ''초타원 함수에 관하여''. 제2편, 수학 연보 제32권 357-387쪽
  • 1890년: (로베르트 프리케와 함께) ''타원 모듈 함수론에 관한 강의'' (2권)[17] (1892년)
  • 1894년: [https://catalog.hathitrust.org/Record/000438127 ''초기하 함수에 관하여''] (''Über die hypergeometrische Funktion'')
  • 1894년: ''2계 선형 미분방정식에 관하여'' (''Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung'')
  • 1894년: ''에번스턴 강좌''(1893) 지베트(뉴욕, 1894)가 보고 및 출판[18]
  • 1895년: ''기하학의 선택된 문제들에 관한 강연'' (''Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie'')[19]
  • * 1897년: W. W. 비먼과 D. E. 스미스의 영어 번역본 ''[https://archive.org/details/B-001-004-370 초등 기하학의 유명한 문제들]'' (인터넷 아카이브)
  • 1897년: (아놀드 조머펠트와 함께) ''회전체 이론'' (''Theorie des Kreisels'') (후속 권: 1898, 1903, 1910)
  • 1897년: [https://archive.org/details/mathematicaltheo00kleiuoft/page/n9/mode/2up ''팽이의 수학적 이론''] (프린스턴 연설, 뉴욕)[21]
  • 1901년: [22]
  • 1908년: ''고등 입장에서 본 초등 수학'' (''Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus'') (라이프치히)
  • 1926년, 1927년: ''19세기 수학 발전에 관한 강의'' (''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert'') (2권), 율리우스 슈프링거 출판사, 베를린[23]
  • * [https://web.archive.org/web/20151225095843/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=285982 펠릭스 클라인 ''19세기 수학 발전에 관한 강의'']
  • 1928년: ''비유클리드 기하학에 관한 강의'' (''Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie''), 수학 기초 과학 강좌, 슈프링거 출판사[24]
  • 1933년: ''초기하 함수에 관한 강의'' (''Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion''), 수학 기초 과학 강좌, 슈프링거 출판사

참조

[1] 논문 Klein's Collected Works http://projecteuclid[...]
[2] 서적 Felix Klein in Leipzig: mit F. Kleins Antrittsrede, Leipzig 1880 https://books.google[...] Ed. am Gutenbergplatz
[3] 논문 Biography: Felix Klein
[4] 서적 Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 https://books.google[...] Elsevier
[5] 논문 The Felix Klein Protocols https://www.ams.org/[...] 2007-08
[6] 서적 Hilbert https://books.google[...] Springer-Verlag
[7] 서적 A Century of Mathematical Meetings American Mathematical Society
[8] 웹사이트 Felix C. Klein (1849–1925) http://www.dwc.knaw.[...] Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 2015-07-22
[9] 서적 The Routledge International Encyclopedia of Education https://books.google[...] Routledge
[10] 서적 Handbook on the History of Mathematics Education https://books.google[...] Springer Science & Business Media
[11] 서적 Handbook on the History of Mathematics Education https://books.google[...] Springer Science & Business Media
[12] 웹사이트
[13] Youtube Klein Bottles – Numberphile https://www.youtube.[...] 2015-06-22
[14] 백과사전 Klein, Christian Felix http://www.encyclope[...] 2008-12-04
[15] 서적 Routes of Learning: Highways, Pathways, Byways in the History of Mathematics Johns Hopkins University Press
[16] 논문 The Uniformization Theorem https://www.jstor.or[...] 1981
[17] 논문 Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen von Felix Klein, Erste Band https://www.ams.org/[...]
[18] 논문 Review: The Evanston Colloquium: Lectures on Mathematics by Felix Klein https://www.ams.org/[...]
[19] 논문 Review: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie von Felix Klein https://www.ams.org/[...]
[20] 논문 Review: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen von Robert Fricke & Felix Klein, Erste Band & Zweiter Band https://www.ams.org/[...]
[21] 논문 Review: Mathematical Theory of the Top by Felix Klein https://www.ams.org/[...]
[22] 논문 Review: Gauss' wissenschaftlichen Tagebuch, 1796—1814. Mit Anmerkungen von Felix Klein https://www.ams.org/[...]
[23] 논문 Review: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert von Felix Klein. Erste Band https://www.ams.org/[...]
[24] 논문 Three books on non-euclidean geometry
[25] 서적 岩波数学辞典 第4版 岩波書店
[26] 웹사이트 Klein; Christian Felix (1849 - 1925) 2011-12-12
[27] 논문 Klein's Collected Works http://projecteuclid[...]


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